Otras alternativas...

Todas las construcciones que hemos visto hasta aquí pueden trabajarse también cortando varios círculos de papel iguales y doblándolos:

• por la mitad = dos medio
• en cuatro = cuatro cuartos
• doblándolo una vez más = ocho octavos.

Aquí se requiere mayor intervención del docente con preguntas inquisidoras que obliguen al chico a responder qué es lo que a ocurrido en cada doblez. También ayuda esto a comprender fracciones equivalentes.

Octavos

Feliz Año 2011 para todos, con salud y trabajo...

Continuando, construimos ahora los octavos (o el octógono).

Sobre la base de los cuartos es fácil suponer que tomando un ángulo central cualquiera, por ejemplo, el aAb, trazamos la bisectriz del mismo (recta e que pasa por A), dividiendo a éste y a su opuesto por el vértice en otros cuatro ángulos iguales.
Recordemos siempre que al proceder al trazado de la bisectriz (como se hizo con la mediatriz en la construcción de cuartos) deben construirse las circunferencias completas para determinar los puntos por donde pasará la recta que divide al ángulo en otros dos iguales.
Aquí el alumno ya puede visualizar que un cuarto (1/4) equivale a dos octavos (2/8). Es importante que el docente vaya "tirando" preguntas durante la construcción que despierten la curiosidad del niño y sea la misma significativa para el objetivo posterior que es trabajar estas equivalencias.
En esta construcción trabajamos:

• Trazado de la bisectriz de un ángulo.
• Ángulos opuestos por el vértice: la prolongación de la recta bisectriz del primer ángulo determinó en el ángulo opuesto por el vértice otros dos ángulos congruentes con los dos primeros, por lo tanto se deduce que los "ángulos opuestos por el vértice son congruentes". Para que no parezca que sea este un caso particular, se puede hacer probar con ángulos de otras medidas, cortando y superponiendo.
• Trazado de la perpendicular (a la recta e para obtener los cuatro octavos restantes).
• Punto medio de un segmento: otra alternativa de construcción. Construir primero un cuadrado inscrito en la circunferencia y encontrar los puntos medios de dos lados consecutivos. Trazar las rectas que pasan por estos puntos y el centro de la circunferencia.

...ahora los "cuartos"

Tampoco es ninguna ciencia dividir un círculo en cuartos. Lo interesante es aprovechar este momento para trabajar:

• Concepto de perpendicularidad. Cantidad de rectas perpendiculares a una recta dada que pasan por un punto perteneciente o no a ella.
  
• Segmento de recta. Siempre se debe reiterar la idea de segmento como porción limitada de una recta.
• Mediatriz de un segmento. Punto medio. En la determinación de la mediatriz es importante que se trabaje con los círculos completos, cuyas intersecciones determinan los puntos por los que pasa la recta mediatriz. Hacer que los chicos prueben cual es el radio de esos círculos más convenientes. Repetir la experiencia con distintas medidas de radios, como se muestra en las figuras de abajo. En la primera construcción no es posible determinar dos puntos necesarios trazar la mediatriz. En el segundo caso, se puede observar que cualquier par de círculos iguales determinan dos puntos que pasan por la mediatriz del segmento.

Presionar sobre las imágenes para ampliar

• Ángulo recto. Concepto. Condición necesaria y suficiente para asegurar la existencia de perpendicularidad.
• Etc. Seguramente, a partir de estas ideas, a los docentes se les ocurriran muchas otras que podrán aprovechar para trabajar geometría.
  

Enseñar Geometría: un desafío... una obligación...

Leía un artículo publicado en www.euclides.org sobre las "Perspectivas en la Enseñanza de la Geometría en el siglo XXI", y me interesó compartir con ustedes un fragmento. De todos modos el link los lleva al artículo completo. Recomiendo que lo lean.

Perspectives en l´Ensenyament de la Geometria pel segle XXI

Documento de discusión para un estudio ICMI
PMME-UNISON. Febrero. 2001

Entre matemáticos y educadores de matemáticas hay un acuerdo muy difundido que, debido a la diversidad de aspectos de geometría, su enseñanza puede empezar en una edad temprana y continuar en formas apropiadas a través de todo el currículo matemático. De cualquier modo, tan pronto como uno trata de entrar en detalles, las opiniones divergen en cómo llevar a cabo la tarea. En el pasado han habido (y aún ahora persisten) fuertes desacuerdos acerca de los propósitos, contenidos y métodos para la enseñanza de la geometría en los diversos niveles, desde la escuela primaria hasta la universidad.

Tal vez una de las razones principales de esta situación es que la geometría tiene muchos aspectos, y en consecuencia no ha sido encontrada - y tal vez ni siquiera exista - una vía simple, limpia, lineal, "jerárquica" desde los primeros comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría. A diferencia de lo que sucede en aritmética y álgebra, aún los conceptos básicos en geometría, tales como las nociones de ángulo y distancia, deben ser reconsideradas en diferentes etapas desde diferentes puntos de vista.

Otro punto problemático concierne al rol de las demostraciones en geometría: relaciones entre intuición, demostraciones inductivas y deductivas, edad a la que las demostraciones pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de rigor y abstracción.

Así la enseñanza de la geometría no es de ninguna manera una tarea fácil. Pero en lugar de tratar de enfrentar y superar los obstáculos que emergen en la enseñanza de la geometría las prácticas escolares actuales en muchos países simplemente omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandantes, y con frecuencia sin nada que las reemplace. Por ejemplo, la geometría tridimensional casi ha desaparecido o ha sido confinada a un rol marginal en el currículo de la mayoría de los países.

En sucesivas entradas vamos ir compartiendo cómo enseñar geometría aprovechando la construcción de material didáctico destinado a operar con números fraccionarios: los típicos círculos partidos.
Niños de 5º y 6º Año de la Educación Primaria, y 1º Año de la Secundaria necesitan todavía manejar material concreto para la comprensión de diversos contenidos. Ellos mismos pueden (y deben) construir su propio material. Es ahí cuando, al construir los círculos fraccionados, aprovechamos y en pocos días enseñamos "muuucha" geometría... toda aquella que no abordamos escudándonos en que el tiempo no es suficiente...

Los espero para trabajar (y aprender) juntos...

Propuestas didácticas

Les dejo algunas propuestas didácticas para introducir el concepto de "Relaciones Funcionales" (Funciones lineales, proporcionalidad...).


De: Editorial Nuevo México

Contenidos

Objetivos

• Incorporar saberes que le permitan a los docentes incorporar contenidos, procedimientos y actitudes en el desempeño de su rol.

• Replantear la práctica docente.

• Confrontar teoría y práctica a través del debate, análisis, resolución de situaciones áulicas en función de un crecimiento profesional.

• Atender las necesidades e intereses de los alumnos realizando una transposición didáctica acorde.

• Desestimar el uso de algoritmos, por lo menos al inicio de la enseñanza de los contenidos mínimos a alcanzar por los alumnos de Primer Año de la Educación Secundaria.

• Dinamizar la enseñanza de la matemática con material concreto y resolución de problemas.

• Priorizar contenidos que transversalicen a todos los demás contenidos matemáticos a enseñar en estos años de escolarización.

Contenidos Conceptuales

• Las operaciones: multiplicación y división. Conceptualización.

• Conjunto de números racionales: Números enteros y fraccionarios. Partes del entero. Fracciones aparentes. Fracciones equivalentes. Fracciones propias, impropias y mixtas.

• Operaciones con fracciones. Suma, resta, multiplicación y división.

• Distintas notaciones de los números racionales y contenidos relacionados: expresión fraccionaria, expresión decimal, expresión porcentual, proporcionalidad.

Estrategias

• El juego como estrategia de aprendizaje. “El planteo de juegos como estrategia de enseñanza permite tener en cuenta la diversidad cognitiva de los alumnos. Y esto aparece en relación con diferentes cuestiones.”

• Resolución de operaciones matemáticas por sistemas no convencionales. Aproximación y estimación.

• Resolución de situaciones problemáticas con el uso de material concreto.

• Construcción de material didáctico.